Punto di aderenza
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In topologia generale, un punto è un punto di aderenza ad un sottospazio di uno spazio topologico se è possibile trovare punti di questo sottospazio "arbitrariamente vicini" ad . Si tratta di una nozione meno restrittiva di quella di punto di accumulazione.
Definizione
Un punto è aderente ad se e solo se, comunque si prenda un intorno dell'elemento , l'intersezione dell'intorno con l'insieme è sempre non vuota.
Ovvero, è un punto di aderenza per se e solo se è un punto di accumulazione per o è un punto isolato di .
Spazi topologici
Un punto appartenente ad uno spazio topologico è detto punto di aderenza (o punto di chiusura) per un sottoinsieme di se ogni aperto contenente interseca . In simboli:
Spazi metrici
In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturalmente indotta dalla metrica, la definizione è equivalente alla richiesta seguente.
dove con si indica la palla di raggio e centro . Non ne consegue (come nel caso dei punti di accumulazione) che in ogni palla vi siano infiniti punti di .
Differenza con i punti di accumulazione
Tutti i punti di accumulazione di sono anche aderenti ma non è valido il viceversa. Non è richiesto infatti che ogni intorno di intersechi in punti diversi da . L'intersezione non vuota può essere garantita dallo stesso punto, purché appartenente a .
Ne consegue che tutti i punti di sono aderenti in , anche quando non sono di accumulazione. In tale ultimo caso si parla di punti isolati.
Chiusura di un insieme
L'insieme dei punti di aderenza di è detto chiusura (o aderenza) di .
