Insieme chiuso

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I punti del piano cartesiano che soddisfano la relazione formano una circonferenza qui disegnata in blu avente il centro nell'origine degli assi cartesiani e raggio . I punti tali che sono disegnati in rosso. L'unione dei punti disegnati in rosso e di quelli in blu è un insieme chiuso, mentre la sola parte disegnata in rosso forma un insieme aperto.

In topologia, un insieme chiuso è un sottoinsieme di uno spazio topologico tale che il suo complementare è aperto, oppure, equivalentemente, un insieme è chiuso se contiene la sua frontiera. Intuitivamente se un insieme è chiuso vuol dire che il "bordo" dell'insieme appartiene all'insieme stesso.

Gli insiemi chiusi hanno quindi le seguenti proprietà, "complementari" a quelle degli insiemi aperti, valide in un qualsiasi spazio topologico :

  1. l'unione di un numero finito di chiusi è ancora un chiuso;
  2. l'intersezione di una collezione arbitraria di chiusi è ancora un chiuso;
  3. l'intero insieme e l'insieme vuoto sono chiusi.

Si possono usare queste proprietà come assiomi per definire una topologia su a partire dai chiusi, che coincide con quella generata nel modo usuale dalla famiglia degli aperti complementari.

Esempi

Sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:

  • i sottoinsiemi contenenti un solo elemento;
  • gli intervalli , con e numeri reali finiti;
  • gli intervalli ( − ∞ , b ] {\displaystyle (-\infty ,b]} , con e numeri reali finiti;
  • i sottoinsiemi dei numeri naturali e dei numeri interi;
  • l'insieme di Cantor.

Non sono insiemi chiusi della retta reale con l'usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:

  • gli intervalli ( a , b ] {\displaystyle (a,b]} , con e numeri reali finiti;
  • il sottoinsieme dei numeri razionali.

Altri esempi di insiemi chiusi sono:

dove è un punto dello spazio ed un numero reale positivo, è un insieme chiuso dello spazio metrico con topologia indotta dalla metrica .

Proprietà

Bibliografia

  • Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
  • Czes Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica, Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9.
  • (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, MA, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6.

Voci correlate

Collegamenti esterni