Probabilità: la legge dei grandi numeri

Introduzione

Quando si parla di probabilità, spesso si pensa a giochi d'azzardo o alla lotteria, ma in realtà la teoria delle probabilità ha applicazioni molto più ampie, dall'economia alla medicina. In questo articolo approfondiremo la legge dei grandi numeri, uno dei concetti fondamentali nella teoria delle probabilità.

Le basi della teoria delle probabilità

La teoria delle probabilità si occupa di modellizzare eventi incerti o casuali in termini matematici. Ad esempio, se si lancia una moneta alzando la testa o la croce, il risultato non è prevedibile con certezza ma è possibile valutare le probabilità di ottenere ciascuna delle due facce. La probabilità è quindi una misura quantitativa dell'incertezza. Si esprime come un numero compreso tra 0, che indica la totale impossibilità dell'evento, e 1, che indica la totalità dell'evento.

Un evento certamente si verifica ha probabilità 1. Un evento impossibile ha probabilità 0. Gli eventi più probabili sono quelli che si avvicinano a 1, mentre quelli che si avvicinano a 0 sono i meno probabili. L'unione di due eventi si indica con il simbolo "o", mentre l'intersezione con il simbolo "e".

La legge dei grandi numeri

La legge dei grandi numeri è un teorema che stabilisce che la media di un gran numero di eventi indipendenti e identicamente distribuiti tende a essere sempre più vicina al valore medio aspettato.

Per capire meglio questo concetto possiamo immaginare un gioco: si lancia una moneta alzando la testa o la croce. Se si prende nota dei risultati ottenuti, dopo un numero sufficiente di lanci dovrebbe essere possibile calcolare la probabilità di ottenere ciascuna faccia. Ad esempio, dopo 10 lanci potrebbe essere uscita la testa 6 volte e la croce 4 volte, quindi la probabilità di ottenere la testa sarebbe il 60% e quella della croce il 40%. Ma se si ripete il gioco un gran numero di volte, ad esempio 1000, la proporzione testa/croce dovrebbe avvicinarsi sempre più alla probabilità teorica, che per una moneta è del 50%.

In altre parole, la legge dei grandi numeri stabilisce che se un evento casuale viene ripetuto un numero sufficientemente elevato di volte, la media del valore ottenuto si avvicina al valore atteso. Questo principio è alla base di molte applicazioni pratiche, tra cui l'analisi delle serie storiche o le simulazioni montecarlo.

Principio di Bernoulli e distribuzione binomiale

La legge dei grandi numeri è strettamente legata al principio di Bernoulli, che stabilisce le probabilità di ottenere un certo risultato in un esperimento casuale ripetibile. Ad esempio, il principio di Bernoulli può essere applicato per calcolare la probabilità di ottenere tre teste consecutive in tre lanci di una moneta.

Un'altra distribuzione di probabilità spesso utilizzata è quella binomiale, che descrive l'evoluzione di un processo casuale in cui hanno luogo solo due eventi possibili, come il successo o il fallimento di una scommessa. La distribuzione binomiale è definita come la somma della probabilità degli eventi che si verificano esattamente k volte in n prove indipendenti.

Applicazioni pratiche della legge dei grandi numeri

Come abbiamo detto, la legge dei grandi numeri ha molte applicazioni pratiche. Alcuni esempi sono:

L'analisi delle serie storiche, in cui si cerca di prevedere l'andamento futuro di un indice in base ai dati storici; l'utilizzo della legge dei grandi numeri consente di valutare l'affidabilità delle stime.
Le simulazioni montecarlo, utilizzate in ingegneria, finanza e scienze per valutare il comportamento di sistemi complessi al variare dei parametri.
La valutazione della qualità dei dati in fisica sperimentale, dove la legge dei grandi numeri consente di stabilire la precisione del risultato in base al numero di prove effettuate.
L'analisi delle performance di un sistema informatico, in cui si valuta il tempo necessario per eseguire un'operazione ripetendola un gran numero di volte.

Conclusioni

In questo articolo abbiamo approfondito uno dei concetti fondamentali nella teoria delle probabilità, ovvero la legge dei grandi numeri. Abbiamo visto come questo principio sia alla base di molte applicazioni pratiche e come sia possibile utilizzarlo per valutare la probabilità di eventi casuali ripetuti un gran numero di volte. La teoria delle probabilità ha una grande importanza in molti campi scientifici e tecnologici, e la comprensione della legge dei grandi numeri è essenziale per una corretta applicazione dei principi matematici.